Sonsuz Ark/ Evrensel Çerçeveye Yolculuk
"Caltech matematikçileri Alex Dunn ve Maksym Radziwill, ilk kez Alman matematikçi Ernst Kummer tarafından keşfedilen sayıların kafa karıştırıcı özelliğini nihayet kanıtladı."
Caltech Mathematicians Solve 19th Century Number Riddle – Finally Prove “Patterson’s Conjecture”
İlk kez Alman matematikçi Ernst Kummer tarafından keşfedilen sayıların şaşırtıcı bir özelliği, son 175 yıldır araştırmacıların kafasını karıştırıyor. 1950'lerde bir noktada, sayı teorisinin bu ilginç özelliğinin yanlış olduğu düşünülüyordu, ancak onlarca yıl sonra matematikçiler bunun aslında doğru olduğuna dair ipuçları buldular. Şimdi ise, çeşitli dönemeçlerden sonra, iki Caltech matematikçisi nihayet Kummer'in başından beri haklı olduğuna dair kanıt buldu.
"Birkaç 'aha' anımız oldu, ama sonra kolları sıvayıp bunu çözmeniz gerekiyor," diye açıklıyor Caltech'te doktora sonrası araştırmacı ve Olga Taussky ve John Todd Matematik Eğitmeni olan Alexander (Alex) Dunn, ispatı danışmanı matematik profesörü Maksym Radziwill ile birlikte yazdı ve Eylül 2021'de çevrimiçi olarak yayınladı.
Matematik problemi, adını 18. yüzyılda yaşamış üretken matematikçi Carl Friedrich Gauss'tan alan Gauss toplamlarıyla ilgilidir. Gauss gençken, 1'den 100'e kadar olan sayıları toplamak için hızlı bir şekilde bir formül geliştirerek sınıf arkadaşlarını şaşırttı. Gauss daha sonra Gauss toplamları olarak bilinen ve denklemlerin çözümlerinin dağılımını kolayca haritalayan karmaşık bir kavram geliştirdi. Radziwill'e göre, önemsiz asal sayılar (3'e bölündüğünde kalanı 1 olan asal sayılar) için kare Gauss toplamları olarak adlandırılan dağılıma baktı ve "güzel bir yapı" buldu.
Bu toplama faaliyeti modüler aritmetik olarak bilinen bir matematik türünü içeriyor. Modüler aritmetiği anlamanın kolay bir yolu, bir saat ve saatin 12 saate bölünmüş kadranını düşünmektir. Öğle ya da gece yarısında sayılar sıfırlanır ve 1'e geri dönerler. Bu "modulo 12" sistemi zamanı izlemeyi kolaylaştırır, saatleri sonsuza kadar saymak zorunda kalmayız.
Gauss toplamları söz konusu olduğunda da aynı fikir geçerlidir ancak temel "saat kadranı" p asal sayı olmak üzere p saate bölünmüştür. Radziwill, "Modulo p matematiği, bilgiyi ayıklamanın ve inanılmaz derecede karmaşık denklemleri daha basit hale getirmenin bir yoludur" diyor.
19. yüzyılda Kummer, önemsiz asal sayılar için kübik Gauss toplamlarının dağılımı veya modulo p sistemi ile ilgileniyordu. Bunu ilk 45 önemsiz asal sayı için elle yaptı ve cevapları bir sayı doğrusu üzerinde tek tek çizdi (bunu yapmak için önce cevapları -1 ile 1 arasına düşecek şekilde normalize etmesi gerekiyordu). Sonuç beklenmedikti: çözümler rastgele değildi ama doğrunun pozitif ucuna doğru kümelenme eğilimindeydi.
Dunn, "Sayı teorisinde doğal nesnelerin dağılımıyla uğraşırken, naif beklenti eşit bir dağılıma sahip olmaktır ve eğer değilse, çok ikna edici bir nedeni olmalıdır" diyor. "Kummer'in küpler için durumun böyle olmadığını iddia etmesi işte bu yüzden şok ediciydi."
Alex Dunn, doktora sonrası araştırmacı ve Olga Taussky ve John Todd Matematik Eğitmeni. Kaynak: Caltech
Daha sonra, 1950'lerde, İleri Araştırmalar Enstitüsü'nden Hedvig Selberg liderliğindeki araştırmacılar, 10.000'den küçük tüm önemsiz asal sayılar (yaklaşık 500 asal sayı) için kübik Gauss toplamlarını hesaplamak üzere bir bilgisayar kullandılar. Çözümler sayı doğrusu üzerinde çizildiğinde, Kummer tarafından görülen sapma ortadan kalktı. Çözümler rastgele bir dağılıma sahip gibi görünüyordu.
Daha sonra matematikçi Samuel Patterson 1978'de bu karışıklığa bir çözüm önerdi ve bu öneriye Patterson varsayımı adı verildi. O sırada Cambridge Üniversitesi'nde yüksek lisans öğrencisi olan Patterson, örneklem büyüklüğü arttıkça çözümlerin dağılımındaki yanlılığın bastırılabileceğini fark etti. Bu, Kummer'in haklı olduğu anlamına geliyordu - 45 asal sayı için yaptığı toplamlarda tuhaf bir şeyler oluyordu. Ancak bunun neden böyle olduğunu kanıtlamak için geçen yıl Dunn ve Radziwill'in nihayet bunu çözmesine kadar beklemek gerekecekti.
Radziwill şöyle açıklıyor: "Birkaç sayı ile görülen önyargı, turaya doğru hafifçe ağırlık veren, ancak ne kadar sık çevirirseniz o kadar az olan fiziksel olarak imkansız bir madeni paraya sahip olmak gibidir."
İki Caltech araştırmacısı yaklaşık iki yıl önce Patterson'un varsayımı sorununu çözmek için birlikte çalışmaya karar verdi. Pandemi nedeniyle kampüste birlikte çok fazla zaman geçirmemişlerdi, ancak Pasadena'da bir otoparkta birbirlerine rastladılar ve konuşmaya başladılar. Problem üzerinde çalışmak için parklarda buluşmaya karar verdiler ve burada matematiksel ispatlarını kâğıtlara not ettiler.
Dunn, "Caltech'e yeni gelmiştim ve çok fazla insan tanımıyordum," diyor. "Bu yüzden Maks ile karşılaşmak ve problem üzerinde yüz yüze çalışabilmek gerçekten harikaydı."
Buldukları çözüm, 1970'lerin sonunda Cambridge Üniversitesi'nde Patterson'ın bir konuşmasını izlemiş olan Oxford Üniversitesi'nden Roger Heath-Brown'ın çalışmalarına dayanıyordu. Heath-Brown ve Patterson problem üzerinde çalışmak üzere bir araya geldi ve ardından 2000 yılında Heath-Brown, Patterson'ın varsayımını kanıtlamaya yardımcı olmak için kübik büyük elek olarak bilinen bir araç geliştirdi. Yaklaştı ama tam çözüme ulaşılamadı.
Dunn ve Radziwill, eleğin düzgün çalışmadığını ya da kaldırabilecekleri bir "bariyere" sahip olduğunu fark ettiklerinde sorunu çözdüler.
"Yaklaşımımızı yeniden ayarlayabildik. Matematikte belli bir düşünce tarzına hapsolabilirsiniz ve biz bundan kurtulmayı başardık," diyor Dunn. "Hatırlıyorum da 'aha' anlarından birini yaşadığımda o kadar heyecanlanmıştım ki koşarak Maks'ı Kırmızı Kapı'da [Caltech'te bir kafe] buldum ve ondan ofisime gelmesini istedim. Sonra tüm bunları çözmek için zorlu bir çalışmaya başladık."
Whitney Clavin, Caltech, 25 Kasım 2022, SciTechDaily
Mustafa Tamer, 04.01.2023, Sonsuz Ark, Çeviri, Bilim ve Teknoloji, Aklın Merdivenleri
Referans: "Kübik Gauss toplamlarında yanlılık: Patterson's conjecture" Alexander Dunn ve Maksym Radziwill, 15 Eylül 2022, Matematik > Sayı Teorisi. arXiv:2109.07463
- Sonsuz Ark'ta yayınlanan yazılardan yazarları sorumludur.
- Sonsuz Ark linki verilerek kısmen alıntı yapılabilir.
- Sonsuz Ark yayınları Sonsuz Ark manifestosuna aykırı yayın yapan sitelerde yayınlanamaz.
- Sonsuz Ark Yayınlarının Kullanımına İlişkin Önemli Duyuru için lütfen tıklayınız.