18 Aralık 2017 Pazartesi

SA5348/ÇY1-EK3: Matematik Tarih'inde 10 Zor An

"Bu sorgulama anları, entelektüel olarak gelişmemize yardımcı oldu."

10 awkward moments in math history

Hepimizin garip anları olmuştur. Bazı şeyler beklenmedik şekilde olur, baş etmek veya olanları tamamen unutmak istediğiniz bazı sosyal gerginlik ve kişisel tedirginlikler vardır. Ancak titiz bir matematikçiyseniz ve dünyanız henüz kanıtlanmadıysa?

Matematik, daima dünyayı mantık aracılığıyla anlama ve bunu kesin olarak tanımlanmış bir matematiksel dille ifade etme peşindedir. Matematik bir anlam ifade etmeye başladığında onu gözlemlemek gerçekten, belirleyici, öğretici ve eğlencelidir.

Atina Okulu, hemen hemen tüm olası Yunanlı filozoflar arasında bulunan Pisagor sol köşede

1- İrrasyonel Sayıların Keşfi

Matematiksel titizliklerin kökeni Eski Yunanistan’da yatıyor, matematiksel düşünce dini inançlara yakınlaşmaya başladı ve bu nedenle sayılara tanrısal nitelikler atfedildi.

Pythagoras Okulu, matematiksel bilgiyi ileri götüren, her kült için geçerli olduğu gibi, bazı temelci inançlara dayanan, ilk matematikçilerin gizli bir ekibiydi. Her pratik probleme uygulanabilen oranlar şaşkınlık yaratmıştı ve dünyada olan herhangi bir şeyi açıklayabildiği için oranların ilahi olduğuna inanmışlardı.

Buna göre, dünyada olan herhangi bir şey oranlarla ifade edilebilir olmalıdır değil mi?

Şimdi, yeni formüle edilmiş Pisagor Teoremi uygulanırken, 2’nin karekökünü keşfettiklerindeki şaşkınlıklarını hayal edin. Bu irrasyonel sayılar (2 sayının oranı olarak ifade edilemeyen sayılar.) dünya düzenini ifade eden ilahi oranlara meydan okumuş ve tüm felsefelerini sorgulatmıştır. 



Pisagor teoremi (bağıntısı) bir dik üçgenin iki kenar uzunluğu verildiğinde üçüncü kenarın uzunluğunu bulmamızı sağlar. Pisagor teoremine göre; bir dik üçgende dik açının karşısındaki kenarın yani hipotenüsün bir kenarını oluşturduğu karenin alanı, diğer iki dik kenarın birer kenar olarak oluşturdukları karelerin alanları toplamına eşittir"/ Ekleyen;Sonsuz Ark


Devrimsel nitelikteki bu keşfin sonuçlarından korkmuşlar ve bunun hakkında kimseye bir şey söylememeye karar vermişlerdir. Ayrıca söylenene göre, bu keşfi yapan Hippasus’u da boğdurmuşlardır. 

Bilimsel sessizlik, değil mi?

2- Sonsuzluk

İrrasyonel sayıların keşfi hala kötü olmasına rağmen, Yunanlılar daha dehşet verici bir keşfi öne çıkardılar; sonsuzluk. 

İrrasyonel sayıların ondalık basamak sayısının sonsuz sayıda olması nedeniyle Yunanlılar, sonsuz bir dizinin nasıl oluşabileceği konusunda bir açıklama yapmak zorunda kaldılar. Bugün, sonsuzluk kavramını anlamak zordur, bu şöyle dursun. 

Din, bilimle bağlantılıdır ve matematiksel inançlar tanrıyı anlayışımıza karşı çıkmamalıdır. Peki, Yunanlılar ne yaptı? 

Aristo ve Plato gibi filozoflar mutlak bir sonsuzluk kavramını reddetti ve şekil alanını hesaplamak için bitkinlik yöntemini geliştiren Cnidus'un Eudoxus'u gibi geometride sonsuzluk ihtiyacını ortadan kaldırmak için yaratıcı yollar bulan matematikçiler ortaya çıktı. 

17. yüzyıla kadar Newton ve Leibniz sonsuzlukları sonsuz değerleri kullanarak hesaba katmayı teşvik etti ve John Wallis 1655’te bildiğimiz sonsuzluk sembolünü tanıttı.

3- Zeno(n)'nun Paradoksları

Yunanlılar, iş felsefi akıl yürütmeye geldiğinde kesinlikle aşırıya kaçtılar.

Selefi Heraklitus, dünyadaki her şeyin sürekli değiştiğini iddia ettikten sonra Parmenides hiçbir şeyin değişmediğini iddia etti. Sonuç olarak, hareket sadece bir yanılsamadır ve bu nedenle Yunanlılara göre matematiğin dili kullanılarak gerçeğin dilinin tanımlanması imkânsız olmalıdır.

Parmenides ‘in öğrencilerinden Zeno, hareketin irrasyonelliğini ispatlamayı amaçlayan bir dizi paradoks tasarladı. 

Ünlü Akhilleus ve onun kaplumbağa paradoksu şu şekildedir: 

Akhilleus kaplumbağaya 100 metre ilerden başlaması için avantaj verir. Eğer her ikisinin de sabit hızlarda koştuğunu düşünürsek, (biri sabit yüksek bir hızda, diğer sabit düşük bir hızda), belirli bir süre sonra Akhilleus yüz metre koştuğunda, kaplumbağanın başladığı yere gelmiş olacaktır; bu süre boyunca kaplumbağa da küçük de olsa belirli bir mesafe koşmuştur, örneğin 1 metre. 

Akhilleus bir süre sonra bu mesafeyi de tamamladığında, o süre zarfında kaplumbağa yine küçük de olsa bir mesafe ilerlemiş olacaktır ve bu böyle devam edecektir. Bu lise matematik problemi, basit ve anlaşılır olarak, bizi şu paradoksal sonuca götürüyor: 

Akhilleus ne kadar hızlı olursa olsun kaplumbağaya ulaşamayacaktır. 

Tebrikler Zeno, hareketi mantıksızlaştırdın.

Zeno'nun paradokslarının, çağlar boyunca metafiziğin, sorunlu filozofların ve matematikçilerin alanında, geçerli olduğu düşünülüyordu. Ancak günümüzde Yunanlıların sahip olmadığı matematiksel bir araç olan kalkülüs ile açıklanabilirler. O halde "harekete geçelim".

4- Mobius Şeridi

1858'de matematik tarihine dokunamayan şanssız Johann Benedict Listing tarafından bağımsız bir şekilde keşfedilen komik görünümlü Mobius şeridi, sadece bir yüzü ve sadece bir sınırı olan, genç matematik öğrencilerinin bulmaca için kullanıldıkları bir yüzeydir.


Mobius Şeridi, kendiniz yapın.

Bir şerit alarak, bükerek ve ardından şeridin uçlarını birleştirerek kolayca oluşturabilirsiniz.
Yönlendirilemeyen yüzeylerin ilk örneği olan bu şerit listenin diğer keşifleri kadar matematiğin temellerini sarsmamıştır. Yine de birçok pratik uygulamanın geliştirilmesini sağlamıştır; direnç kemeri gibi ve matematikçilere yönlendirilemeyen yüzeyler hakkında ilham vermiştir, örneğin Klein şişesi.

5- Cantor’un Reel Sayılar'ın Sayılamazlığı

Cantor, sonsuzlukla zaten bir sürüklenme yaşıyordu; 1874'de aslında farklı sonsuzluk çeşitleri olduğunu kanıtladı. Özellikle, gerçek sayıların sayılamazlığını ispatlayan Cantor, bu kümenin zaten sonsuz sayıda doğal sayıdan daha büyük olduğunu kanıtladı.

1891'de köşegen argümanını sağladı, bu o kadar zarif bir kanıt ki daha sonraları bir paradoks kullanarak kanıtlamak için araç olarak kabul edildi. Onun sözleri, kardinal sayılar teorisini ve bununla ilgili çelişkileri doğurdu: kaç tane sonsuzluğun üstesinden gelebilirsiniz?

6- Russell’ın Paradoksu

1901'de Russell, Cantor'un şimdiye kadar iyi kurulmuş teorisinde zayıf bir nokta keşfetti ve bu teori onu matematik dünyasının denetleyemediği bir çelişkiye götürdü. Bu teoriye göre, herhangi bir şeyin koleksiyonu bir dizi olabilir.

Bertrand Russell, matematikçi, filozof, mantıkçı, tarihçi, yazar, sosyal eleştirmen, siyasi eylemci ve bence kendisini eğitmeye değer olan bir kişilikti.

Russell’ın çelişki örneği Berber Paradoksu olarak da biliniyor. Özel bir kuralı olan bir kasaba hayal edin; Berber, sadece kasabadaki kendini tıraş etmeyen erkekleri tıraş eder. Cevaplamaya çalışacağınız soru ise; Berberi kim tıraş eder?

Bu soru bir paradoks yaratmaktadır. Berber sadece aşağıdaki kişilerden biri tarafından tıraş edilebilir:

1. Kendisi,

2. Berber (yine kendisi).

Fakat bu seçeneklerden hiçbiri geçerli değildir. Çünkü;

Eğer bu kişi kendini tıraş ederse, berber (kendisi) tarafından tıraş edilmemeli.

Eğer bu kişi kendini tıraş etmezse, berber (kendisi) tarafından tıraş edilmeli.

Bu keşif onu daha önceki küme teorisinin temellerini sorgulamaya ve daha sonra önerilen Zermelo-Fraenkel kümesi kuramından daha karmaşık yeni bir teori yaratmaya itti.

7- Gödel’in Eksiklik Teoremi

Önceki olaylar biraz rahatsız edici anlar yaratmış gibi görünüyorsa, aşağıdaki garip kaplumbağa için bekleyin (ve bu Akhilleus’unkinden bile daha kötü).

20. yüzyıldan bahsediyoruz. İnsanlar sadece bilmek istemiyordu. Bilmek ve kanıtlamanın mümkün olup olmadığını bilmek istiyorlardı. Şansız bir şekilde onlar için ve insanlığın evreni anlama ihtiyacı için Gödel, 1931'de, eksiklik teoremleri olarak bilinen iki teoremi yayınladı.


Kurt Gödel, 19. yüzyılda matematik ve mantık alanlarını sallayan mantıkçı, matematikçi ve filozoftu.


Gödel, Aritmetik dili gibi tutarlı ve eksiksiz bir sistem göz önüne alındığında, hem gerçek hem de kanıtlanamayan ifadeler bulunduğunu kanıtlamıştır, Bu önerme ispatlanamaz ifadesini (G) aritmetik sisteminde formülize etti. Aynı şekilde G ifadenin değilini (Bu önerme ispatlanabilir) de formül ile ifade etti. 

Daha sonra, G ifadesinin aritmetik olarak doğruluğu hesaplanabilir ise, G ifadesinin değilinin de doğruluğunun hesaplanabileceğini gösterdi. Ve Gödel buradan şu iki sonuca varmıştır:

1. Öğesel aritmetik içeren aksiyomatik bir sistem tutarlı ise eksiksizlik değildir.

2. Öğesel aritmetik içeren aksiyomatik bir sistemin tutarlılığını sistemin kendi içinden (sistemin kendi formüllerini ve işlemlerini kullanarak) ispatlamak mümkün değildir.

İşin ilginç tarafı, bu G ifadesi sistemin içine bir aksiyom olarak yerleştirilse bile, yeni bir Gödel cümlesi çıkartılabilir. Yani ne kadar aksiyom eklersek ekleyelim, böyle bir sistemde doğruluğu ya da yanlışlığı ispatlanamayacak bir Gödel cümlesi bulunacaktır.

Bu, matematik için çok kötü bir haberdi; onları, mutlak gerçeği açıklamanın orijinal parlaklığından yoksun bırakıyordu. Ayrıca, "Bilmeliyiz, bileceğiz" sözleriyle ifade edilen Hilbert'in bilgi arayışına korkunç bir geri dönüştü.

8- Tarski’nin Belirsizlik Teoremi

Öyle görünüyor ki, Gödel'in yarattığı umutsuzluk Tarski’nin esin kaynağı oldu. 1936'da tanımlanamamazlık problemini kanıtladı.

Tarski'nin yaptığı gözlemler Gödel'in çalışmalarına dahil olsa da, Tarski'nin eserlerinin daha derin bir felsefi etkiye sahip olduğu savunulmaktadır. Tarski, bir dilin gerçeği kendi başına tanımlayamayacağı sonucuna ulaşmayı başardı. Bu önemli bir sınırlama olmasına rağmen, daha güçlü bir meta dilinin kullanılmasının gerçeği daha basit bir dilde tanımlamak için yeterli olduğunu önermektedir.

Şimdi, sıradan bir insan bunun sorunun çözümü olduğunu düşünebilir, ancak "hepsini yönetmesi için tek bir dil" arayan bir matematikçi için bu, bu kadar kolay değil.

9 – (Halting)Durma Sorunu

Alan Turing, basit bir deyişle, bir ifadenin doğru olup olmadığına cevap verebilecek bir algoritmanın karar problemleriyle uğraşmıştır. Bu kavramsal olarak basit, ancak çözülmesi zor olan sorunu çözmek için, durdurma sorununu tekrar tekrar dile getirdi: 

Verilen sorunda bir programın durup durdurulmayacağını söyleyebilen bir makine var mı?

Halting, sonsuza kadar dönmeyecek demektir. Ancak bildiğiniz bir makinenin ulaşılmazlığını nasıl kısa şekilde kanıtlarsınız? Paradoksların kullanışlı olduğu yer de burasıdır.

Alan Turing, girilen girdinin doğruluğunu sorgulayan bir makinenin olduğunu varsaydı. Daha sonra, cevabı evetse çıkışını döngüye sokarak veya cevabı hayırsa durdurarak bu makineyi çoğalttı.

Peki, diğer sistemin durup durmayacağını sorgulayan başka bir makine kendinin ne zaman durup durmayacağını sorgulayacak mı? Alan'ın cevabı: evet ise hayır, hayır ise evet. Mantık için kötü bir haber gibi duruyor.

10- No Free Lunch (Serbest Öğle Yemeği) Teoremi

21. yüzyıla geçiş, neredeyse felsefi matematiğin, istatistik ve optimizasyon gibi uygulamalı alanlara aktarılmasını sağladı.

Kendinizi optimizasyona düşkün görüyorsanız, bunun sizi mükemmeliyetçi yapacağını düşünmüyor musunuz? Ve bir mükemmeliyetçi bir şeyleri optimize etmenin en uygun yolunu bulmak istemez mi?

Öyle görünüyor ki David Wolpert ve William Macready bu ihtiyacı hissettiler ve elbette ki cesaretlendirici olmayan bir cevap buldular (aksi halde listemizde olmayacaktı). 1997'de yayınlanan Optimizasyon için No free lunch teoremine göre, "Herhangi iki optimizasyon algoritmasının olası tüm problemlerde ortalaması alındığında performansları eşdeğerdir."

Kalp kırıcı olabilir, ama bu optimizasyonun faydasız olduğu anlamına gelmez. Bunu yapmak için genellikle en iyi yolu bulamayacağız.

Bu anlar, matematik dünyasını garip hissettiriyor; bu da, evren mantıklı hale geldiğinde bilim insanlarının yaşamak zorunda kaldığı umutsuzluğun ve kaosun duyguları için hafif bir terimdir. Fakat şok, bilimi ilerletmenin yoludur.

Matematiksel alanlar oluşturuldu, Turing Makinesi, süslü görünümlü yüzeyler ve en önemlisi, algılarımızı yeniden inceleme ve buna göre araçlarımızı uyarlama becerimiz var.

Bu sorgulama anları, entelektüel olarak gelişmemize yardımcı oldu.

Eksiklik teorileri hariç. Bunlar sadece yıkıcıydı.

Elena Nisioti, 2 Aralık 2017, (Alanındaki derin anlayışı hayatla dengelemek için mücadele eden AI doktora öğrencisi. Çoğunlukla okuma, kodlama ve yazma çalışmalarında bulundu (ancak önerilere açık), Medium



Eyüp Kaan, 18.12. 2017, Sonsuz Ark, Çevirmen- Çırak Yazar,
Eyüp Kaan Yazıları


Çeviriye destek için kullanılan kaynaklar:
1- http://www.wikizero.org/index.php?q=aHR0cHM6Ly90ci53aWtpcGVkaWEub3JnL3dpa2kvQmVyYmVyX3BhcmFkb2tzdQ
2- http://www.wikizero.org/index.phpq=aHR0cHM6Ly90ci53aWtpcGVkaWEub3JnL3dpa2kvR8O2ZGVsJ2luX2Vrc2lrbGlrX3Rlb3JlbWk



Sonsuz Ark'tan
  1. Sonsuz Ark'ta yayınlanan yazılardan yazarları sorumludur. 
  2. Sonsuz Ark linki verilerek kısmen alıntı yapılabilir.
  3. Sonsuz Ark yayınları Sonsuz Ark manifestosuna aykırı yayın yapan sitelerde yayınlanamaz.
Yorum Gönder

Seçkin Deniz Twitter Akışı